ایدهای که از یک شام دوستانه در حاشیه یک همایش بازی رومیزی در سال ۲۰۱۰ آغاز شد، پس از ۱۵ سال به یکی از ظریفترین دستاوردهای ریاضی ترکیبیاتی تبدیل شد؛ طراحی مجموعهای از تاسها که بتواند نوبت بازیکنان را با عدالت کامل و بدون نیاز به پرتاب مجدد تعیین کند.
ماجرا با پرسش ساده جیمز ارنست، طراح بازیهای رومیزی، از دوست ریاضیدانش اریک هارشبرگر از دانشگاه اوبرن آلاباما آغاز شد: آیا میتوان مجموعهای از تاسها ساخت که هر تعداد بازیکن — از دو نفر تا چندین نفر — هر کدام یک تاس بردارند، بیندازند و شانس کاملا یکسانی برای اول شدن داشته باشند؟ شرط اصلی این بود که هیچ دو نتیجهای با هم برابر نباشد تا نیازی به تکرار پرتاب نباشد.
از سه تاس ۶ وجهی تا چهار تاس ۱۲ وجهی
هارشبرگر پاسخی برای آن پرسش نداشت، اما مسئله ذهن او را رها نکرد. او به همراه رابرت فورد، ریاضیدان کالج ایالتی دالتون و دوست دوران کودکیاش، کار غیررسمی روی این معما را آغاز کرد. تنها چند هفته بعد، نخستین موفقیت به دست آمد: سه تاس ۶ وجهی که اعداد ۱ تا ۱۸ به شکلی خاص روی آنها توزیع شده بود و میتوانست برای سه بازیکن کاملا منصفانه عمل کند.
سپس فورد با محاسبات دستی نشان داد که میتوان با چهار تاس ۱۲ وجهی نیز عدالت را برای چهار بازیکن برقرار کرد. تا سال ۲۰۱۲ این مجموعه چهارتایی در کنفرانسهای ریاضی ارائه شد، رسانهای شد و حتی به صورت دستساز توسط خود هارشبرگر تولید و به خریدارانی در سراسر جهان ارسال میشد.
عدالتی فراتر از نفر اول؛ «انصاف جایگشتی»
نکته شگفتانگیز این بود که این تاسها فقط نفر اول را مشخص نمیکردند. بررسیهای بعدی نشان داد آنها کل ترتیب بازیکنان را به صورت کاملا تصادفی و برابر تعیین میکنند. به عنوان مثال در بازی چهار نفره، احتمال اینکه ترتیب نهایی A، B، C، D باشد دقیقا برابر با هر ترتیب دیگری مانند C، B، D، A است. ریاضیدانان این ویژگی را «انصاف جایگشتی» (Permutation Fairness) نامیدند؛ ویژگیای که نام اولیه «تاسهای تعیینکننده نفر اول» را نادقیق نشان داد.
معمای پنج بازیکن و عددی بزرگتر از اتمهای جهان
اما حل مسئله برای پنج بازیکن به مراتب دشوارتر بود. از نظر نظری، اثبات شده بود که چنین مجموعهای باید وجود داشته باشد، اما یافتن چیدمان درست اعداد تقریبا غیرممکن به نظر میرسید.
پنج تاس ۶۰ وجهی در مجموع ۳۰۰ وجه دارند و باید اعداد ۱ تا ۳۰۰ بدون تکرار روی آنها قرار گیرند. تعداد حالتهای ممکن برای این توزیع حدود ۱۰ به توان ۱۲۸ است؛ عددی که به گفته هارشبرگر از تعداد اتمهای جهان نیز بیشتر است. روشن بود که حتی قویترین ابررایانهها نیز نمیتوانند با جستجوی کور همه این ترکیبها را بررسی کنند. بنابراین تیم باید به دنبال الگوها و تقارنهای پنهانی میگشت که فضای جستجو را به شدت کوچک کند.
سالها تلاش با بنبستهای مختلف همراه بود. برخی راهحلهای پیشنهادی به تاسهایی با تعداد وجه بسیار زیاد یا ابعادی غیرقابل ساخت منجر میشد. هدف هارشبرگر صرفا یک جواب روی کاغذ نبود؛ او میخواست تاسی واقعی، قابل پرتاب و قابل تولید برای بازیهای رومیزی ساخته شود.
ایمیلی از کانادا و پایان ۱۵ سال انتظار
به گزارش لایوساینس، نقطه عطف در اواسط سال ۲۰۲۳ رقم خورد؛ زمانی که پل مایر، مهندس نرمافزار کانادایی، با هارشبرگر تماس گرفت. مایر در حال تحلیل الگوهای موجود در دادههای مربوط به مجموعه چهار تاس قبلی بود و برنامهای کامپیوتری نوشته بود که میتوانست از همین الگوها برای حدس ساختار تاسهای پنجگانه استفاده کند.
خود مایر انتظار حل فوری مسئله را نداشت، اما برنامه او موفق شد آرایش دقیق پنج تاس ۶۰ وجهی را پیدا کند؛ آرایشی که تمام شروط عدالت کامل و بدون تساوی را برای هر زیرمجموعهای از بازیکنان (دو تا پنج نفر) برآورده میکرد. هارشبرگر پس از بررسی نتایج گفت: «با خودم گفتم باورکردنی نیست. مدت خیلی طولانی دنبالش بودیم و حالا جواب پیدا شده است.»
پنج تاس چوبی غولپیکر در دانشکده ریاضی
در حالی که مجموعه چهارتایی پیشتر از طریق فروشگاههای تخصصی ریاضی در بریتانیا و آمریکا به فروش میرسید، نسخه پنجتایی تنها یک ایده نظری باقی مانده بود. پس از کشف مایر، دانشگاه اوبرن که در حال ساخت ساختمان جدید دانشکده ریاضی بود، از پیشنهاد هارشبرگر برای ساخت نسخه نمایشی استقبال کرد.
هارشبرگر ماهها در کارگاه شخصی خود روی این پروژه کار کرد و پنج تاس بزرگ از پنج نوع چوب متفاوت ساخت: کاج، صنوبر، بلوط، گردو و ماهون. این تاسهای غولپیکر اکنون در ساختمان جدید ریاضی دانشگاه اوبرن به نمایش گذاشته شدهاند تا هم یک دستاورد علمی را ثبت کنند و هم بازدیدکنندگان را به تفکر وادارند.
او میگوید هدفش از نمایش این آثار فراتر از ثبت یک موفقیت ریاضی است: «وقتی مردم این تاسهای بزرگ یا کوچک را میبینند، اول جذب هندسه آنها میشوند. امیدوارم بعد از آن بگویند: این هم ریاضیات است و جالب است.» به باور او، جذابترین مسائل ریاضی همانهایی هستند که صورت مسئلهشان بسیار ساده، اما یافتن پاسخشان به شدت دشوار است؛ درست مانند معمای تاس عادلانه که ۱۵ سال ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرد.
دیدگاهها (0)
هنوز دیدگاهی ثبت نشده است.